مقدمه ای بر هندسه منیفلدها ارشد

هندسه ((به يوناني ) با دو جزء ژئو (زمين) و مترون (اندازه‌گيري)) شاخه‌اي از رياضيات است كه با شكل، اندازه، موقعيت‌بندي اشكال و ويژگي‌هاي فضا سروكار دارد. هندسه به طور مستقل در پاره‌اي از تمدن‌هاي اوليه به شكل بدنه‌اي از دانش عملي در مورد طول، مساحت و حجم ظهور كرد و به عنوان يك دانش رسمي در زمان طالس (قرن ششم قبل از ميلاد) در غرب پايه‌ريزي شد.

در قرن سوم پيش از ميلاد، هندسه توسط اقليدس به شكل اصل موضوعي درآمده بود و كار اقليدس ـ هندسه اقليدسي ـ پايه‌ريزي استانداردي بود كه قرن‌ها دنبال شد. ارشميدس روش‌هاي هوشمندانه‌اي براي محاسبه مساحت و حجم ارائه كرد كه در بسياري از موارد پيشرو حساب ديفرانسيل و انتگرال نوين محسوب مي‌شوند.

دانش اخترشناسي، به ويژه نگاشتن مكان ستاره‌ها و سياره‌ها و توصيف رابطه بين حركت اجسام آسماني تا هزار و پانصد سال بعد منشأ بسياري از پرسش‌هاي هندسي بود. هر دوي هندسه و اخترشناسي در دنياي كلاسيك بخشي از كوادريويم بودند كه خود زيرمجموعه‌اي از علوم مقدماتي هفتگانه بود و يادگيري آن‌ها براي هر شهروند آزادي ضروري به حساب مي‌آمد.

معرفي دستگاه مختصات توسط رنه دكارت و توسعه هم‌زمان در جبر منجر به آغاز مرحله‌اي تازه در هندسه شد؛ زيرا اشكال هندسه همچون منحني‌هاي رويه‌اي را مي‌شد به شكل تحليلي يعني با توابع و معادلات نمايش داد. اين موضوع نقشي كليدي در پيدايش حساب بي‌نهايت كوچك در قرن هفدهم داشت. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتي اجسام هندسي و با شروع از كارهاي اويلر و گاوس، غني‌تر شد و به پيدايش توپولوژي و هندسه ديفرانسيل انجاميد.

در دوران اقليدس تمايز آشكاري بين فضاي فيزيكي و فضاي هندسي وجود نداشت. از قرن نوزدهم و كشف هندسه نااقليدسي مفهوم فضا دستخوش تغييرات اساسي شده است و اين پرسش پديد آمده است: كدام فضاي هندسي تطابق بيشتري با فضاي فيزيكي دارد؟ امروزه بايد بين فضاي فيزيكي، فضاي هندسي و فضاهاي انتزاعي تمايز قائل شد. هندسه در دنياي معاصر با منيفلدها سروكار دارد؛ فضاهايي كه از فضاهاي اقليدسي آشنا بسيار انتزاعي‌ترند. مي‌توان به اين فضاها ساختارهايي افزود كه بتوانيم در مورد طول در فضا صحبت كنيم. هندسه مدرن پيوندهاي مستحكمي با فيزيك دارد كه به طور نمونه مي‌توان به هندسه ريماني، شبه‌ريماني و نسبيت عام اشاره كرد.

هندسه ريماني شاخه‌اي از هندسه ديفرانسيل است كه به بررسي منيفلدهاي ريماني مي‌‌پردازد، يعني منيفلدي كه مجهز به يك متريك ريماني مي‌باشد. هندسه ريماني در قرن نوزدهم توسط برنهارد ريمان پايه‌گذاري شد. هندسه ريماني كاربردي يعني هندسه‌اي كه در آن فضا و زمان خميده است. براي نمونه اگر خطي واقع بر سطح كره را درنظر بگيريد، از هيچ نقطه بيرون آن خط نمي‌توان خطي به موازات خط نخست رسم كرد در حالي كه در هندسه اقليدسي اين كار كاملاً ممكن است. در اين هندسه مجموع زواياي مثلث بيشتر از 180 درجه مي‌باشد. شايان ذكر است يكي از جوان‌ترين نظريه‌هاي فيزيكي يعني نظريه ريسمان نيز حال و هوايي هندسي دارد.

مجموعه حاضر با عنوان «مقدمه‌اي بر هندسه منيفلدها» يكي از دروس تخصصي رشته رياضي محض در سطح كارشناسي ارشد به شمار مي‌آيد. از آنجا كه تلاش اينجانب بيشتر مبني بر آن بود كه كتاب حاضر از تنوع در سرفصل‌ها و عناوين تشريح شده برخوردار باشد، به جرئت می‌توان گفت به دليل پيوند ناگسستني بين سرفصل‌هاي ارائه شده، ارتباط نزديك بين مطالب و استفاده مكرر مطالب از پيش گفته شده در مطالب بعدي اين كار بسي دشوار به نظر مي‌رسيد؛ لذا علي‌رغم اينكه به كرات از منابع آورده شده در انتهاي كتاب استفاده شده است و مثال‌ها، سؤالات و مفاهيم ضروري آن‌ها مورد استعمال قرار گرفته‌اند، بخش‌بندي عناوين و سرفصل‌هاي اين كتاب در 13 فصل مطابق با منبع [8] بوده است و تشريح مطالب درس غالباً مبتني بر منابع [5] و [8] مي‌باشد.

در پايان لازم است از اساتيد گرانقدر جناب آقاي دكتر سيدمحمدباقر كاشاني و دكتر عباس حيدري كه در طول تحصيل در محضرشان كسب علم و معرفت نمودم، نهايت تشكر و قدرداني را داشته باشم و صادقانه اذعان مي‌كنم كه تلاش دلسوزانه آن‌ها در راستاي معرفي هندسه ريمان و شبه‌ريمان، وجه تمايز آن‌ها با هندسه كلاسيك، مقایسه اين دو نوع هندسه به عنوان بعد نظري فيزيك نسبيت و همچنين تأكيد آن‌ها بر استفاده بهينه از زمان به منظور بالا بردن ميزان توانايي و فهم مطالب قابل تحسين است. 

از خانواده عزيزم كه همواره بي‌دريغ ياور و پشتيبانم بوده‌اند بي‌نهايت سپاسگزارم و از دوستان گرامي‌ام آقايان بابك جمشيدي، پوريا سليماني‌فر و داوود عبدي به پاس توصيه‌هاي دلسوزانه و كمك‌هاي بي‌دريغشان تشكر و قدرداني مي‌كنم. همچنین لازم می‌دانم که قدردان راهنمایی‌های ارزنده آقایان محمد یاراحمدی، عابد حسین پناهی و محمد احمدی باشم.

در پايان لازم است از مديريت محترم انتشارات مدرسان شريف كه رهنمودهاي ايشان باعث ارتقاي كتاب شده است كمال تشكر و امتنان را داشته باشم.

از واحد تأليف و تايپ انتشارات مدرسان شريف كه در هرچه بهتر شدن اين كتاب از هيچ كوششي دريغ نورزيدند كمال تشكر را دارم.

يقيناً هر اثري توأم با خطايي است؛ لذا از تمامي صاحب‌نظران و دانشجويان تقاضا دارم هرگونه اشكالي را از طريق شماره پيام كوتاه 10008387 به ما اطلاع دهند و يا با شماره تلفن 61099-021 (روابط عمومي انتشارات مدرسان شريف) تماس حاصل كنند.