مقدمه ای بر هندسه منیفلدها ارشد (EBook)

هندسه ((به یونانی) با دو جزء ژئو (زمین) و مترون (اندازه‌گیری)) شاخه‌ای از ریاضیات است كه با شكل، اندازه، موقعیت‌بندی اشكال و ویژگی‌های فضا سروكار دارد. هندسه به طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شكل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور كرد و به عنوان یك دانش رسمی در زمان طالس (قرن ششم قبل از میلاد) در غرب پایه‌ریزی شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شكل اصل موضوعی درآمده بود و كار اقلیدس ـ هندسه اقلیدسی ـ پایه‌ریزی استانداردی بود كه قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبه مساحت و حجم ارائه كرد كه در بسیاری از موارد پیشرو حساب دیفرانسیل و انتگرال نوین محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی، به ویژه نگاشتن مكان ستاره‌ها و سیاره‌ها و توصیف رابطه بین حركت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشأ بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای كلاسیك بخشی از كوادریویم بودند كه خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود و یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری به حساب می‌آمد.

معرفی دستگاه مختصات توسط رنه دكارت و توسعه هم‌زمان در جبر منجر به آغاز مرحله‌ای تازه در هندسه شد؛ زیرا اشكال هندسه همچون منحنی‌های رویه‌ای را می‌شد به شكل تحلیلی یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقشی كلیدی در پیدایش حساب بی‌نهایت كوچك در قرن هفدهم داشت. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از كارهای اویلر و گاوس، غنی‌تر شد و به پیدایش توپولوژی و هندسه دیفرانسیل انجامید.

در دوران اقلیدس تمایز آشكاری بین فضای فیزیكی و فضای هندسی وجود نداشت. از قرن نوزدهم و كشف هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده است و این پرسش پدید آمده است: كدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیكی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیكی، فضای هندسی و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه در دنیای معاصر با منیفلدها سروكار دارد؛ فضاهایی كه از فضاهای اقلیدسی آشنا بسیار انتزاعی‌ترند. می‌توان به این فضاها ساختارهایی افزود كه بتوانیم در مورد طول در فضا صحبت كنیم. هندسه مدرن پیوندهای مستحكمی با فیزیك دارد كه به طور نمونه می‌توان به هندسه ریمانی، شبه‌ریمانی و نسبیت عام اشاره كرد.

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است كه به بررسی منیفلدهای ریمانی می‌‌پردازد، یعنی منیفلدی كه مجهز به یك متریك ریمانی می‌باشد. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه‌گذاری شد. هندسه ریمانی كاربردی یعنی هندسه‌ای كه در آن فضا و زمان خمیده است. برای نمونه اگر خطی واقع بر سطح كره را درنظر بگیرید، از هیچ نقطه بیرون آن خط نمی‌توان خطی به موازات خط نخست رسم كرد در حالی كه در هندسه اقلیدسی این كار كاملاً ممكن است. در این هندسه مجموع زوایای مثلث بیشتر از 180 درجه می‌باشد. شایان ذكر است یكی از جوان‌ترین نظریه‌های فیزیكی یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.

مجموعه حاضر با عنوان «مقدمه‌ای بر هندسه منیفلدها» یكی از دروس تخصصی رشته ریاضی محض در سطح كارشناسی ارشد به شمار می‌آید. از آنجا كه تلاش اینجانب بیشتر مبنی بر آن بود كه كتاب حاضر از تنوع در سرفصل‌ها و عناوین تشریح شده برخوردار باشد، به جرئت می‌توان گفت به دلیل پیوند ناگسستنی بین سرفصل‌های ارائه شده، ارتباط نزدیك بین مطالب و استفاده مكرر مطالب از پیش گفته شده در مطالب بعدی این كار بسی دشوار به نظر می‌رسید؛ لذا علی‌رغم اینكه به كرات از منابع آورده شده در انتهای كتاب استفاده شده است و مثال‌ها، سؤالات و مفاهیم ضروری آن‌ها مورد استعمال قرار گرفته‌اند، بخش‌بندی عناوین و سرفصل‌های این كتاب در 13 فصل مطابق با منبع [8] بوده است و تشریح مطالب درس غالباً مبتنی بر منابع [5] و [8] می‌باشد.

در پایان لازم است از اساتید گرانقدر جناب آقای دكتر سیدمحمدباقر كاشانی و دكتر عباس حیدری كه در طول تحصیل در محضرشان كسب علم و معرفت نمودم، نهایت تشكر و قدردانی را داشته باشم و صادقانه اذعان می‌كنم كه تلاش دلسوزانه آن‌ها در راستای معرفی هندسه ریمان و شبه‌ریمان، وجه تمایز آن‌ها با هندسه كلاسیك، مقایسه این دو نوع هندسه به عنوان بعد نظری فیزیك نسبیت و همچنین تأكید آن‌ها بر استفاده بهینه از زمان به منظور بالا بردن میزان توانایی و فهم مطالب قابل تحسین است.

از خانواده عزیزم كه همواره بی‌دریغ یاور و پشتیبانم بوده‌اند بی‌نهایت سپاسگزارم و از دوستان گرامی‌ام آقایان بابك جمشیدی،
پوریا سلیمانی‌فر و داوود عبدی به پاس توصیه‌های دلسوزانه و كمك‌های بی‌دریغشان تشكر و قدردانی می‌كنم. همچنین لازم می‌دانم که قدردان راهنمایی‌های ارزنده آقایان محمد یاراحمدی، عابد حسین پناهی و محمد احمدی باشم.

در پایان لازم است از مدیریت محترم انتشارات مدرسان شریف كه رهنمودهای ایشان باعث ارتقای كتاب شده است كمال تشكر و امتنان را داشته باشم.

از واحد تألیف و تایپ انتشارات مدرسان شریف كه در هرچه بهتر شدن این كتاب از هیچ كوششی دریغ نورزیدند كمال تشكر را دارم.

یقیناً هر اثری توأم با خطایی است؛ لذا از تمامی صاحب‌نظران و دانشجویان تقاضا دارم هرگونه اشكالی را به آدرس ایمیل Entesharat@modaresanesharif.ac.ir ارسال کنند و یا با شماره تلفن‌ 61099 ـ 021 (روابط عمومی انتشارات مدرسان شریف) تماس حاصل نمایند.