کتاب مقدمه ای بر هندسه منیفلدها ارشد

هندسه ((به یونانی ) با دو جزء ژئو (زمین) و مترون (اندازه‌گیری)) شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت‌بندی اشکال و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. هندسه به طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و به عنوان یک دانش رسمی در زمان طالس (قرن ششم قبل از میلاد) در غرب پایه‌ریزی شد.

در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس ـ هندسه اقلیدسی ـ پایه‌ریزی استانداردی بود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبه مساحت و حجم ارائه کرد که در بسیاری از موارد پیشرو حساب دیفرانسیل و انتگرال نوین محسوب می‌شوند.

دانش اخترشناسی، به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها و توصیف رابطه بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشأ بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود و یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری به حساب می‌آمد.

معرفی دستگاه مختصات توسط رنه دکارت و توسعه هم‌زمان در جبر منجر به آغاز مرحله‌ای تازه در هندسه شد؛ زیرا اشکال هندسه همچون منحنی‌های رویه‌ای را می‌شد به شکل تحلیلی یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقشی کلیدی در پیدایش حساب بی‌نهایت کوچک در قرن هفدهم داشت. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از کارهای اویلر و گاوس، غنی‌تر شد و به پیدایش توپولوژی و هندسه دیفرانسیل انجامید.

در دوران اقلیدس تمایز آشکاری بین فضای فیزیکی و فضای هندسی وجود نداشت. از قرن نوزدهم و کشف هندسه نااقلیدسی مفهوم فضا دستخوش تغییرات اساسی شده است و این پرسش پدید آمده است: کدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی، فضای هندسی و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه در دنیای معاصر با منیفلدها سروکار دارد؛ فضاهایی که از فضاهای اقلیدسی آشنا بسیار انتزاعی‌ترند. می‌توان به این فضاها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در فضا صحبت کنیم. هندسه مدرن پیوندهای مستحکمی با فیزیک دارد که به طور نمونه می‌توان به هندسه ریمانی، شبه‌ریمانی و نسبیت عام اشاره کرد.

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که به بررسی منیفلدهای ریمانی می‌‌پردازد، یعنی منیفلدی که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه‌گذاری شد. هندسه ریمانی کاربردی یعنی هندسه‌ای که در آن فضا و زمان خمیده است. برای نمونه اگر خطی واقع بر سطح کره را درنظر بگیرید، از هیچ نقطه بیرون آن خط نمی‌توان خطی به موازات خط نخست رسم کرد در حالی که در هندسه اقلیدسی این کار کاملاً ممکن است. در این هندسه مجموع زوایای مثلث بیشتر از 180 درجه می‌باشد. شایان ذکر است یکی از جوان‌ترین نظریه‌های فیزیکی یعنی نظریه ریسمان نیز حال و هوایی هندسی دارد.

مجموعه حاضر با عنوان «مقدمه‌ای بر هندسه منیفلدها» یکی از دروس تخصصی رشته ریاضی محض در سطح کارشناسی ارشد به شمار می‌آید. از آنجا که تلاش اینجانب بیشتر مبنی بر آن بود که کتاب حاضر از تنوع در سرفصل‌ها و عناوین تشریح شده برخوردار باشد، به جرئت می‌توان گفت به دلیل پیوند ناگسستنی بین سرفصل‌های ارائه شده، ارتباط نزدیک بین مطالب و استفاده مکرر مطالب از پیش گفته شده در مطالب بعدی این کار بسی دشوار به نظر می‌رسید؛ لذا علی‌رغم اینکه به کرات از منابع آورده شده در انتهای کتاب استفاده شده است و مثال‌ها، سؤالات و مفاهیم ضروری آن‌ها مورد استعمال قرار گرفته‌اند، بخش‌بندی عناوین و سرفصل‌های این کتاب در 13 فصل مطابق با منبع [8] بوده است و تشریح مطالب درس غالباً مبتنی بر منابع [5] و [8] می‌باشد.

در پایان لازم است از اساتید گرانقدر جناب آقای دکتر سیدمحمدباقر کاشانی و دکتر عباس حیدری که در طول تحصیل در محضرشان کسب علم و معرفت نمودم، نهایت تشکر و قدردانی را داشته باشم و صادقانه اذعان می‌کنم که تلاش دلسوزانه آن‌ها در راستای معرفی هندسه ریمان و شبه‌ریمان، وجه تمایز آن‌ها با هندسه کلاسیک، مقایسه این دو نوع هندسه به عنوان بعد نظری فیزیک نسبیت و همچنین تأکید آن‌ها بر استفاده بهینه از زمان به منظور بالا بردن میزان توانایی و فهم مطالب قابل تحسین است. 

از خانواده عزیزم که همواره بی‌دریغ یاور و پشتیبانم بوده‌اند بی‌نهایت سپاسگزارم و از دوستان گرامی‌ام آقایان بابک جمشیدی، پوریا سلیمانی‌فر و داوود عبدی به پاس توصیه‌های دلسوزانه و کمک‌های بی‌دریغشان تشکر و قدردانی می‌کنم. همچنین لازم می‌دانم که قدردان راهنمایی‌های ارزنده آقایان محمد یاراحمدی، عابد حسین پناهی و محمد احمدی باشم.

در پایان لازم است از مدیریت محترم انتشارات مدرسان شریف که رهنمودهای ایشان باعث ارتقای کتاب شده است کمال تشکر و امتنان را داشته باشم.

از واحد تألیف و تایپ انتشارات مدرسان شریف که در هرچه بهتر شدن این کتاب از هیچ کوششی دریغ نورزیدند کمال تشکر را دارم.

یقیناً هر اثری توأم با خطایی است؛ لذا از تمامی صاحب‌نظران و دانشجویان تقاضا دارم هرگونه اشکالی را از طریق شماره پیام کوتاه 10008387 به ما اطلاع دهند و یا با شماره تلفن 61099-021 (روابط عمومی انتشارات مدرسان شریف) تماس حاصل کنند.